Universität Stuttgart - Fakultät 8: Dipl.-Math. Jörg Hörner

	Fakultät 8: Fachbereich Mathematik Lehrstuhl für Numerik und Geometrische Modellierung
	Diplomarbeiten am IMNG

Übersicht zu vergebender Diplomarbeiten

optimale Triangulierung (minimale Tetraederzahl) konvexer Polyeder
Speicherung der für Finite Elemente (sehr vielen) relevanten Fälle (häufigster Fall: Schnitt von Tetraeder mit Ebene) von bis zu 7 Seitenflächen (automatische Generierung entsprechender Listen), Beschreibnug der möglichen Polyedertypen anhand von geeigneten Parametern zur schnellen Identifizierung
Berechnung von FE-Integralen durch numerische Integration über die Tetraeder der Triangulierung von Randzellen

Darstellung dreidimensionaler Simulationsgebiete mit -Funktionen basierend auf Quadriken
Beschreibung der Schnittmengen von mit den Gitterzellen durch geeignete Parameter (z.B. Kantenschnitte, Normalen, Ecken des Gebietes, etc.)
Konzipierung eines geeigneten neuronalen Netzes zur Approximation der Abbildung $p\mapsto \int_{D\cap Q} f$ für Monome
Trainieren des Netzes mit Hilfe elementar berechenbarer Integrale, empirische Fehleranalyse

Beschreibung der Gebiete durch Boolesche Verknüpfung von Elementargebieten

$\displaystyle D_k: p_k(x,y) \ge 0$
mit bivariaten Polynomen in Bézier-Form
hierarchische Unterteilung bis auf hinreichend kleinen Rechtecken Teilgebiete einfachen Typs (höchstens zwei s aktiv, minimale Anzahl von Schnitten mit den Rechteckkanten) vorliegen
numerische Integration für die einfachen Typen, Fehlerabschätzung basierend auf den Ableitungen des Integranden und den Bézier-Koeffizienten der relevanten Randkurvenstücke
Anwendung auf Randzellenintegration bei der WEB-Methode

semidiskrete WEB-Approximation des Anfangsrandwertproblems für

$\displaystyle u_{tt} = \Delta u + f\ {\rm in}\ D\times[0,T],$
in zwei Ortsvariablen
Zeitintegration mit Runge-Kutta-Verfahren
Stabilität und Fehlerabschätzung

relevante Theorie des singulär gestörten Randwertproblems

$\displaystyle -\varepsilon u^{\prime\prime} + a(x) u^\prime + b(x) u = f(x),\quad u(0)=u(1)=0 \,,$
explizite Lösungen für Spezialfälle
Upwind-Differenzenverfahren auf angepassten Gittern
Finite-Elemente-Approximation mit B-Splines
Fehlerabschätzungen und Vergleich der Verfahren

Spline-Approximation von Randkurven, Flächendarstellung mit WEB-Splines
Minimierung des Flächeninhalts mit einem CG-Verfahren, Startapproximation via Subdivision
Fehlerabschätzung

Approximation der schwachen Formulierung

$\displaystyle \frac{1}{2} \int_D \vert{\rm grad}\, u\vert^2 - \int_D fu \to \min,\quad H^1_0(D)\ni u \ge \chi$
mit WEB-Splines
Fehlerabschätzung
iterative numerische Lösung der Variationsungleichung

Differenzenapproximation des Anfangswertproblems für

$\displaystyle u_t = \Delta u^m \mathrm{\ in}\ \mathbb{R}^2\times T$
für Anfangswerte mit kompaktem Träger
Spline-Approximation des freien Randes
Anweundung zur Konstruktion von Gewichtsfunktionen für das WEB-Verfahren

Zerlegung in glatte konvexe Teilsegmente
Approximation durch implizite quadratische Spline-Darstellungen, Umwandlung in rationale Bézier-Kurven
Fehlerabschätzung
Anwendung auf Ränder von Rvachev-Gebieten