Richard Schmähl

Diffusionsbasierte Regularisierung für Inverse Probleme

In vielen Anwendungsbereichen lässt sich die gesuchte Größe nicht direkt beobachten, sondern muss aus Messungen rekonstruiert werden. Die Lösung eines derartigen inversen Problems wird häufig dadurch erschwert, dass die Messdaten in Folge von Modellungenauigkeiten, technisch bedingten Fehlern in der Datenakquisition oder physikalischen Zufallsprozessen verrauscht sind. Um trotzdem stabile Rekonstruktionen zu erzeugen, kommen sogenannte Regularisierungsverfahren zum Einsatz.

Durch Wahl eines passenden Regularisierungsfunktionals können hierbei gewünschte Zusatzeigenschaften kodiert werden. Ein bekannter Strafterm, welcher stückweise konstante Funktionen bevorzugt, ist die Totale Variation (TV). Das zugehörige Gradientenabstiegsverfahren lässt sich als vorwärts gerichteter Diffusionsprozess interpretieren, welcher Intensitätsunterschiede in der Rekonstruktion ausgleicht, jedoch auch über Kanten hinweg glättet. Durch Wahl geeigneter Funktionale, welche auch rückwärts gerichtete Diffusion zulassen, lassen sich Rauschartefakte in der Rekonstruktion unterdrücken, ohne Kontrastinformationen zu stark zu beeinträchtigen. Diese gehen zwar mit einer größeren Anzahl an justierbaren Parametern einher, allerdings erweisen sich gute Parameterwahlen als robust gegenüber kleineren Änderungen sowie der grundlegenden Struktur des zu rekonstruierenden Objekts. Eine größere Schwierigkeit stellen Daten dar, welche nicht ausreichend Kanteninformationen enthalten, um das volle Potential des Diffusionsprozess auszunutzen. Im Falle von stark unterbestimmten/unterabgetasteten Daten kann dies beispielsweise durch Variation des Strafterms während der Rekonstruktion kompensiert werden.

Limited-angle Computertomographie

Ein klassisches Beispiel für ein inverses Problem ist die Computertomographie, welche in Medizin und Industrie Anwendung findet. Diese weist einige Besonderheiten bei der Kodierung von Kanteninformation in den Messdaten auf, wodurch es im Falle von unvollständigen Daten – wie sie zum beispielsweise durch eine Einschränkung des Scan-Winkelbereichs erzeugt werden – zu einer Unterrepräsentation bis hin zum Verlust solcher Kanteninformationen kommen kann. Sie stellt daher eine besondere Herausforderung für Diffusionsprozesse dar, welche auf ebendiese Art von Informationen angewiesen sind.

Durch Kombination mit spektralen Filtern sowie der Methode der approximativen Inversen lässt sich jedoch ein Verfahren herleiten, welches – bis zu einem gewissen Grad – mit der extremen Schlecht-Gestelltheit des zugrunde liegenden Problems umgehen kann. Auf diese Weise können auch hier mit den kantenerhaltenden Eigenschaften von Diffusionsprozessen Rauschen und Artefakte unterdrückt werden bei gleichzeitigem Erhalt struktureller Informationen.